Operaciones conmutativas

En matemáticas, algunas operaciones matemáticas poseen la propiedad conmutativa o conmutatividad en la que el resultado no varía al cambiar el orden de los elementos sobre los que se aplica. Esta propiedad se cumple, por ejemplo, en la suma y la multiplicación de los números reales: el orden de los sumandos no altera la suma y el orden de los factores no altera el producto.

En general, dado un grupo (A,*), la operación interna * es conmutativa si para cualquier par de elementos a y b de A se cumple que a*b = b*a.

Definición

Sea el par <S; * > donde S es un conjunto no vacío y * una operación en S, si para dos de sus elementos a y b se cumple que a*b = b*a, se dice que * es una operación conmutativa en S.

Ejemplos

  • En los números reales, la suma y la multiplicación son operaciones conmutativas. Por ejemplo, 2 + 1 = 3 = 1 + 2 y 3·2 = 6 = 2·3.
  • En los números complejos, la suma y la multiplicación son operaciones conmutativas. Por ejemplo, (1 + i) - 2i = 1 - i = - 2i + (1 + i).
  • En el grupo de las matrices reales cuadradas, la suma es una operación conmutativa pero el producto no lo es.
  • La composición de funciones no es una operación conmutativa.

Casos diversos

En lógica proposicional
  1. La conjunción p y q es lo mismo que la proposición q y p.
  2. la disyunción inclusiva p o q o ambas resulta igual que q o p o ambas
  3. la disyunción exclusiva p o q sólo una es lo mismo que q o p sólo una.
  4. la doble implicación p si solo q es lo mismo que q si solo si

La conmutatividad se comprueba para cada operación mediante tabla de valores [1]

En teoría de conjuntos
  1. La unión de conjuntos A union B = B unión A
  2. la intersección de conjuntos A inter B = B inter A
  3. la diferencia simétrica A Δ B = B Δ A
Se demuestra que el conjunto del primer miembro es parte del conjunto del segundo miembro y viceversa, usando las proposiciones lógicas del caso. [2]
En sistemas numéricos
  1. En los números naturales : se cumple que a+b = b+a, se demuestra con la axiomática de Peano. [3]
  2. En los números enteros. Sean M = (a,b) y N =(c,d). Luego M+N = ( a+c, b+d) y N+M = (c+a, d+c) aplicando la conmutatividad aditiva de los naturales en los componentes de los pares ordenados representativos se cumple la propiedad conmutativa.
  3. En los números racionales L= (m,n) y H = (p,q). Se tiene L+H = (mq+np, nq); H+L = (pn+mq, qn), como en los pares ordenados figuran números enteros cumplen la propiedad conmutativa de la adición y multiplicación.
  4. En los números reales . Sean a, b, c y d cualesquiera números racionales tal que a≤x≤b , c≤y≤d siendo x e y números reales, la suma es tal que a+c≤x+y≤b+d. Con esta definición se prueba la propiedad conmutativa. [4]
  5. la adición de los números complejos es una operación conmutativa.
  6. la adición de los cuaternios es una una operación conmutativa.
En operaciones inversas
  1. la sustracción en los números enteros, racionales, reales, complejos, cuaternios es una operación inversa de la adición, pero no es conmutativa, excepto para a-a. Esto ocurre, porque la sustracción resuelve la ecuación a+x=b y esta no equivale a la ecuación b+x = a, que aseguraría la propiedad conmutativa de la sustracción.
  2. la división de números no es conmutativa excepto en el caso b/b y b no nulo. La división resuelve la ecuación bx= a, no lo resuelve al mismo tiempo ax=b. por lo tanto caben dos ecuaciones: bx=a , además ay = b. [5]
En álgebra
  1. La suma de polinomios en una indeterminada es conmutativa P(x)+ Q(x) = Q(x) + P(x)
  2. La suma de matrices y la de vectores de la misma dimensión es conmutativa.
  3. El producto escalar de dos vectores es conmutativo
  4. El producto vectorial de dos vectores no es conmutativo
  5. El producto de dos permutaciones no es conmutativo
  6. El producto de matrices no es conmutativo [6]
  7. El producto de cuaternios no es conmutativo [7]
Sistemas algebraicos
  1. La operación que define el grupo no es necesariamente conmutativa; en caso de que sea se trata de grupo abeliano.
  2. Un anillo es un sistema algebraico que conlleva dos operaciones. La primera llamada adición que con los elementos del anillo define un grupo abeliano.
  3. Un cuerpo es un anillo en que cada elemento tiene inverso multiplicativo. Si el cuerpo es conmutativo respecto de la multiplicación se llama campo. [8]
  4. Tanto el R-módulo A, como el el K-espacio vectorial V, respecto a la adición de sus elementos es un grupo conmutativo [9] .

Fuentes.

Referencias

  1. ↑ D. Hilbert y W. Ackermann: Elementos de lógica teórica
  2. ↑ Seymour Lipschutz: teoría de conjuntos y temas afines
  3. ↑ Algebra moderna de Schaumm
  4. ↑ V. Illin/ N Posniak: Fundamentos del análisis matemático I, editorial Mir Moscú 1982
  5. ↑ Definición de operación inversa en Curso de álgebra superior de Kurosch
  6. ↑ R.
  7. ↑ Pontriaguin: Generalización de números, URSS, Moscú
  8. ↑ Pontriaguin: Grupos continuos, URSS, Moscú
  9. ↑ Kostrikin. Introducción al álgebra., Editorial Mir. Moscú
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