Derivada en una dirección dada

Derivada en una dirección dada Concepto: Para determinar la derivada en una dirección dada se determina las derivadas parciales de la función y sus valores en el punto. Se utiliza la fórmula presentada.

Derivada en una dirección dada. La derivada de una función en una direción dada de puede calcular utilizando la definición de derivada dada la dirección.

Definición

Se da el nombre de derivada de una función z = f(x,y) en una dirección dada l a la expresión:

donde f(P) y f(P₁) son los valores de la función en los puntos P y (P₁). Si la función z es diferenciable se verifica la fórmula:

dado α es el ángulo formado por él vector l con el eje OX

Derivada de una función de tres argumentos en una dirección dada l

Análogamente se determina la derivada en una dirección dada l, para una función de tres argumentos u = f(x,y,z). En este caso se utiliza la fórmula:

donde α, β y δ son los ángulos entre la dirección l y los correspondientes ejes de coordenadas.

La derivada en una dirección dada caracteriza la velocidad con que varía la función en dicha dirección.

Ejemplo 1

Hallar la derivada de la función z = 2x² - 3y² en el punto P(1,0), en la dirección que forma con el el eje OX un ángulo de 120⁰.

Se halla las derivadas parciales de la función dada y sus valoresen el punto P:

El signo menos indica que la función en este punto y en la dirección dada decrece.

Fuente

• Cálculo. Roland Larson y otros.
• Cálculo Diferencial e Integral, Willian Granville y otros