Grupo conmutativo

Definición

Sea un conjunto G y la operación binaria * definida como *(x,y)=z y se satisfacen los siguientes axiomas:

1. Clausura: . * es cerrada.
2. Asociatividad: Para todo x, y, z de G, (x*y)*z=x*(y*z).
3. Existencia del neutro: Existe uno y solo un elemento e de G tal que para todo x de G se cumple que x*e=e*x=x. e es llamado neutro para * en G.
4. Existencia de los inversos: Para todo x en G, existe un único elemento x" también en G, que satisface x*x"=x"*x=e. A x" se denomina inverso de x según *.
5. Conmutatividad: Para todos x e y de G, se cumple x*y=y*x.

Se dice que G con la operación * es un grupo conmutativo o grupo abeliano.

Es fácil notar que los axiomas del 1 al 4 definen el concepto de grupo, solo el 5to viene a distinguir; por tanto puede decirse que todo grupo abeliano es claramente un grupo, lo contrario no.

Ejemplos

• Los números enteros y la suma conforman un grupo pues la suma es cerrada y asociativa, el 0 es el neutro y para toda k entera su opuesto -k es el inverso, en este caso además la suma es conmutativa por tanto es también un grupo abeliano.
• En cambio, los naturales y la adición no son un grupo conmutativo porque incumplen la existencia del un neutro y no existen los inversos.
• Sea M_n el conjunto de las matrices cuadradas de orden n, puede decirse que <M_n,+> es un grupo conmutativo.
  • Para todas las matrices cuadradas de n filas A y B A+B también es una matriz cuadrada de n filas y columnas.
  • La suma de matrices cuadradas del mismo orden n es asociativa.
  • es el neutro para la suma.
  • Para toda matriz cuadrada de n filas y columnas se tiene su inverso dado por y según la suma de matrices .
  • La suma de matrices cuadradas de orden n es conmutativa.
• También es un grupo conmutativo <M_n,m,+>, donde M_n,m es el conjunto de matrices de n filas y m columnas.
• Sea un cuerpo <C,*,@>; <C,*> y <C,@> son grupos abelianos por la definición del mismo.
• Para el conjunto de cifras binarias B={0,1} y la operación binaria ^ (AND ó y lógico) definida como {<0,0,0>,<0,1,0>,<1,0,0>,<1,1,1>} es un grupo abeliano porque:
  • Por la definición de ^ se observa que es autocontenida o cerrada en B.
  • Es asociativa.
  • Aunque a primera pudieran ser neutros tanto el 0 como el 1, en la definición de ^ se ve que 1^1=1 y que en cualquier caso 1^x=x^1=x; entonces, 1 es el neutro de B para la y lógica.
  • El inverso de todos los elementos de B es 0.
  • El análisis de la conmutatividad de ^ se concentra solo en el caso en que los elementos son distintos, es decir 1^0=0^1=0 lo cual verifica el hecho de que es conmutativa.

Fuentes

• Allendoerfer,Carl B. Cletus O. Oakley. Introducción moderna a la matemática superior. Ediciones del Castillo, Madrid. 1967.
• Artículo: Grupo conmutativo. Disponible en: "es.wikipedia.org". Consultado: 20 de febrero de 2012.