Péndulo simple
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Péndulo simple: Sistema mecánico que se mueve en un movimiento oscilatorio. Un péndulo simple se compone de una masa puntual m suspendida por una cuerda ligera supuestamente inextensible de longitud L, donde el extremo superior de la cuerda está fijo, .Al separar la masa de su posición de equilibrio, oscila a ambos lados de dicha posición, realizando un movimiento armínico simple. En la posición de uno de los extremos se produce un equilibrio de fuerzas.
Funcionamiento
El peso de la bola se descompone en dos componentes: una primera componente que se equilibra con la tensión del hilo, de manera que:
La segunda componente, perpendicular a la anterior, es la que origina el movimiento oscilante:
Sin embargo, para oscilaciones de valores de ángulos pequeños, se cumple: .
Fundamentos físicos
Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida del punto O por un hilo inextensible de longitud l y de masa despreciable. Si la partícula se desplaza a una posición q0 (ángulo que hace el hilo con la vertical) y luego se suelta, el péndulo comienza a oscilar.
El péndulo describe una trayectoria circular, un arco de una circunferencia de radio l. Estudiaremos su movimiento en la dirección tangencial y en la dirección normal.
Las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m son dos
el peso mg
La tensión T del hilo
Descomponemos el peso en la acción simultánea de dos componentes, mg·senq en la dirección tangencial y mg·cosq en la dirección radial.
Ecuación del movimiento en la dirección radial
La aceleración de la partícula es an=v2/l dirigida radialmente hacia el centro de su trayectoria circular.
La segunda ley de Newton se escribe man=T-mg·cosq Conocido el valor de la velocidad v en la posición angular q podemos determinar la tensión T del hilo. La tensión T del hilo es máxima, cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio, T=mg+mv2/l Es mínima, en los extremos de su trayectoria cuando la velocidad es cero, T=mgcosq0 Principio de conservación de la energía En la posición θ=θ0 el péndulo solamente tiene energía potencial, que se transforma en energía cinética cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio.
Comparemos dos posiciones del péndulo: En la posición extrema θ=θ0, la energía es solamente potencial. E=mg(l-l·cosθ0) En la posición θ, la energía del péndulo es parte cinética y la otra parte potencial
La energía se conserva
v2=2gl(cosθ-cosθ0)
La tensión de la cuerda es
T=mg(3cosθ-2cosθ0)
La tensión de la cuerda no es constante, sino que varía con la posición angular θ. Su valor máximo se alcanza cuando θ=0, el péndulo pasa por la posición de equilibrio (la velocidad es máxima). Su valor mínimo, cuando θ=θ0(la velocidad es nula).
Ecuación del movimiento en la dirección tangencial
La aceleración de la partícula es at=dv/dt.
La segunda ley de Newton se escribe
mat=-mg·senq
La relación entre la aceleración tangencial at y la aceleración angular a es at=a ·l. La ecuación del movimiento se escribe en forma de ecuación diferencial
Medida de la aceleración de la gravedad
Cuando el ángulo q es pequeño entonces, senq » q, el péndulo describe oscilaciones armónicas cuya ecuación es q =q0·sen(w t+j ) de frecuencia angular w2=g/l, o de periodo
La ley de la gravitación de Newton describe la fuerza de atracción entre dos cuerpos de masas M y m respectivamente cuyos centros están separados una distancia r. La intensidad del campo gravitatorio g, o la aceleración de la gravedad en un punto P situado a una distancia r del centro de un cuerpo celeste de masa M es la fuerza sobre la unidad de masa g=F/m colocada en dicho punto. su dirección es radial y dirigida hacia el centro del cuerpo celeste. En la página dedicada al estudio del Sistema Solar, proporcionamos los datos relativos a la masa (o densidad) y radio de los distintos cuerpos celestes.
Ejemplo
Marte tiene un radio de 3394 km y una masa de 0.11 masas terrestres (5.98·1024 kg). La aceleración g de la gravedad en su superficie es Tenemos dos procedimientos para medir esta aceleración
- Cinemática
Se mide con un cronómetro el tiempo t que tarda en caer una partícula desde una altura h. Se supone que h es mucho más pequeña que el radio r del cuerpo celeste.
- Oscilaciones
Se emplea un instrumento mucho más manejable, un péndulo simple de longitud l. Se mide el periodo de varias oscilaciones para minimizar el error de la medida y se calculan el periodo P de una oscilación. Finalmente, se despeja g de la fórmula del periodo.
De la fórmula del periodo establecemos la siguiente relación lineal.
Se representan los datos "experimentales" en un sistema de ejes:
- P2/(4p2) en el eje vertical y
- La longitud del péndulo l en el eje horizontal.
La pendiente de la recta es la inversa de la aceleración de la gravedad g.