Regla de Ruffini
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Regla de Ruffini. Método muy eficaz para resolver ecuaciones de tercer grado o mayor. Este método lo que hace es descomponer un polinomio algebraico de grado n, en un binomio algebraico y en otro polinomio algebraico de grado (n - 1). Para ello es necesario conocer al menos una de las raíces del polinomio original, si es que se quiere que la descomposición sea exacta, de lo contrario el método que les presentaré entrega el resto de la descomposición.
Historia
En 1814 un matemático, médico y filósofo italiano llamado Paolo Ruffini, descubrió y formuló la regla del cálculo aproximado de las raíces de las ecuaciones, y su más importante logro, inventó lo que se conoce como Regla de Ruffini, que permite hallar los coeficientes del resultado de la división de un polinomio por el binomio (x - r).
División de polinomios con la Regla de Ruffini
Si un polinomio de, por ejemplo, cuarto grado ax4+bx3+cx2+dx+e, tiene cuatro raíces enteras, x1 , 'x2 , x3 y x4 se factoriza así:
ax4+bx3+cx2+dx+e = a (x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)
Como se obtienen las raíces del polinomio
Ejemplo: Factorizar x4-4x3-x2+16x-12
Se aplica la regla de Ruffini, probando los divisores del término independiente, en este caso de 12. O sea que se prueba con 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 y –12
Primero probamos con 1.
Paso 1
Se copian los coeficientes del polinomio original en línea:
x4-4x3-x2+16x-12
Paso 2
Se escribe en una segunda línea el número uno
Paso 3
El primer coeficiente se copia abajo en una tercera línea
Paso 4
Se multiplica ese coeficiente, uno (1), por el número que estamos probando, en este caso también uno (1), o sea uno por uno = uno (1). Este uno se escribe debajo del siguiente coeficiente, o sea del –4
Paso 5
Se suma –4+1=-3. Se multiplica –3 por 1=-3 y se escribe debajo del siguiente coeficiente, -1.
Paso 6
Se suma –3-1=-4. Se multiplica –4por 1=-4 y se escribe debajo del siguiente coeficiente, 16.
Paso 7
Se suma 16+(-4)=12. Se multiplica 12 por 1=12 y se escribe debajo del siguiente coeficiente, 12.
Como vemos la última suma ha dado cero. Eso quiere decir que uno es una raíz del polinomio y que nos sirve para factorizar.
Si hubiera dado distinto de cero habría que seguir probando los demás divisores de 12.
Los coeficientes que han quedado en la última fila, en realidad son los coeficientes del cociente de dividir el polinomio entre x-1, y la última suma es el resto de dicha división.
Relación fundamental
Si escribimos la relación fundamental de una división entera, o sea que Dividendo=Divisor x Cociente+Resto x4-4x3-x2+16x-12 = (x-1)(x3-3x2-4x+12)+0 = (x-1)(x3-3x2-4x+12)
De hecho ya hemos factorizado el polinomio, pero el segundo factor de tercer grado hay que intentar seguir factorizando, de nuevo por la regla de Ruffini.
Realizamos el Paso 1 hasta el paso 7 nuevamente.
Se copian los coeficientes del polinomio a factorizar: (x3-3x2-4x+12) y queda:
Se ha factorizado el segundo factor de tercer grado hay que intentar seguir factorizando, de nuevo por la regla de Ruffini el tercer factor de segundo grado.
Se copian los coeficientes del polinomio a factorizar x2-x-6 y queda realizando el Paso 1 hasta el Paso 7 nuevamente de esta forma.
Como las raíces son, 1, 2 y –2 y el último cociente es x-3 La factorización final es: x4-4x3-x2+16x-12 =(x-1)x3-3x2-4x+12)+0 = (x-1)(x-2)(x2-x+6)+0 x4-4x3-x2+16x-12 = (x-1)(x-2)(x+2)(x-3)+0
Si en las sucesivas pruebas no encontramos ningún resto cero, quiere decir que el polinomio no se puede factorizar dentro de los números reales.
Tener en cuenta
- Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros.
- Cambiar de signo los divisores de la izquierda cuando escribas los binomios, si te fijas los he puesto en orden, 1, 2 y -2, esto es muy importante ya que por un signo puede cambiar todo el polinomio.
- Como puedes ver se ha realizado dos veces más los mismos pasos, es mucho mejor simplificar lo máximo posible, pues luego para realizar los cálculos será más fácil.
- En este caso hemos tenido la suerte de que los cocientes nos salieron todos cero, de ser el caso, si por ejemplo al final en vez de tener cero tuviese 5, iría en lugar del último resto la solución quedaría así:
x4-4x3-x2+16x-12 = (x-1)(x3-3x2-4x+12)+0 = (x-1)(x-2)(x+2)(x-3 +5)
Desventaja
El método por descomposición de Ruffini es bastante útil y fácil de aplicar. La desventaja que tiene este método es que para aplicarlo hay que encontrar al menos una de las soluciones de la ecuación, lo cual a veces se torna muy difícil. Pero si se encuentra esa solución, el problema se simplifica enormemente.