Infinitos
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Infinito. Si para un número cualquiera N, tan grande como desee, que existe tal δ(N), para 0< Ι x – a Ι< δ(N) se verifica la desigualdad Ιf(x)Ι> N, la función f(x) recibe el nombre de infinita (infinitamente grande) cuando x→a. Análogamente, f(x) se determina como infinita (infinitamente grande) cuando x→ ∞.
Concepto
Este concepto de infinito es utilizado en el Análisis Matemático cuando se quiere expresar que los términos de una sucesión ordenada, o los valores que toma una función al tomar la variable dependiente valores cercanos a uno fijado previamente "diverge" ("tiende a infinito", o su límite es infinito). En este contexto, se considera ∞ para representar al límite que tiende a infinito y 0 al límite cuando tiende a 0; y no al número 0).
Ejemplo: limx->2 3/(x-2) = ∞ => 3/(x-2) es un infinito cuando x tiende a 2, (x→2).
Infinitos fundamentales
- Infinito logarítmico:
- Infinito potencial, n natural y n≠0
- Infinito exponencial, a perteneciente a R+
- Infinito potencial exponencial, n natural y n≠0
Comparación de infinitos
Al comparar infinitos todas las funciones tienden al infinito, a continuación tenemos los siguientes casos, el mayor orden es para la función que más rápido crece al infinito. Sean las funciones f(x) y g(x) dos infinitos en a.
- Se dice que f(x) y g(x) tienen el mismo orden si
- Se dice que el orden de f(x) es mayor que el orden de g(x) si
- Se dice que el orden de f(x) es menor que el orden de g(x) si
- Cuando no existe el límite se dice que los infinitos no son comparables.
Comparación de infinitos fundamentales
A continuación se muestran según ordenes del tipo de infinito, de mayor a menor:
- orden del tipo x k x > orden del tipo b x > orden del tipo x m > orden del tipo loga x c
Ejemplo de órdenes de infinitos
- Órdenes del tipo bx: 4x y 1,5x es mayor el que tenga mayor su base 4x> 1,5x
- Órdenes del tipo xm: 2x3, x2 y x1/2 es mayor el que tenga mayor grado 2x3 > x2 > x1/2
Ordenando los tipos anteriores descendentemente: 4x > 1,5x > 2x3 > x2 > x1/2> log2 x
El siguiente ejemplo muestra como es calculado un límite aplicando el concepto de órdenes de infinito.
- orden xm> orden loga xc, luego x> lnx que corresponde al caso en que el orden de f(x) es menor que el orden de g(x) por lo que esta crece más rápido al infinito resultando:
- Infinitos equivalentes: Se dice que dos infinitos f(x) y g(x) son equivalentes si el
- La suma de dos infinitos de distinto orden es equivalente al infinito de mayor orden.
Véase también
Fuentes
- Baranenkov, G., Deminovich B., Efimenco, V., Kogan, S., Lunts, G., Porshneva, E., Sichova, E., Frolov, S., Shostak, R. y A. Yampolski: Problemas y ejercicios de análisis matemático. Editorial Mir, Moscú, 1977, pp. 31 – 32
- Ministerio de Educación Superior. Departamento de textos y Materiales Didácticos. Análisis Matemático 1 Tomo I