Subgrupo

Subgrupo
Concepto:Sea <G,*> un grupo, se llama subgrupo a cualquier subconjunto no vacío G' de G que para la misma operación *, <G',*> sea un grupo también.

Subgrupo. En Álgebra dícese de la estructura algebraica conformada por el par <G',*>, tales que G' es un subconjunto no vacío de G y * es una operación binaria y <G,*> es un grupo y se cumple que <G',*> es también un grupo.

En el caso que <G',*> sea subgrupo y la operación sea conmutativa dentro de G' se está en presencia de un subgrupo conmutativo o abeliano.

Definición.

  • Sea un conjunto G y la operación binaria * un grupo algebraico <G,*>, se le llama subgrupo a cualquier con que satisfaga el hecho de ser también un grupo sobre la misma operación *.

Una consecuencia de importancia en los subgrupos es la siguiente:

  • En todo subgrupo <G',*> de <G,*> se cumple donde e es el neutro de <G,*>.

A ese subgrupo se le nombra subgrupo trivial de G para la operación * y se considera la demostración de que todo grupo tiene al menos un subgrupo.

Ejemplos.

Ejemplo 1.

El menor de los subgrupos del grupo <G,*> es <{e},*> donde e es el elemento neutro para * en G, es decir el subgrupo trivial.

Ejemplo 2.

Sea el grupo <{0;1;2;3;4},+5> cuya operación +5 (suma módulo 5) viene definida por la tabla:

+5 0 1 2 3 4
001234
112340
223401
334012
440123

no tiene otro subgrupo que el trivial, porque para el resto de los subconjuntos de G se incumple el axioma del cierre de los grupos.

Ejemplo 3.

Sea el grupo <{e,a,b,c},@> (Grupo Cuarto de Klein) con @ definida según la tabla siguiente:

@ e a b c
eeabc
aaecb
bbcea
ccbae

tiene a <{e},@>, <{e,a},@>, <{e,a,b},@> por subgrupo.

Fuentes

  • Subgrupo
  • Carl B. Allendoerfer, Cletus O. Oakley. Introducción moderna a la matemática superior. Ediciones del Castillo, Madrid. 1967.
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