Cómo factorizar las diferencias entre dos cuadrados perfectos

El método de la diferencia entre dos cuadrados es una forma fácil de factorizar un polinomio que involucre la resta de dos cuadrados perfectos. Con la fórmula $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ , tan solo debes encontrar la raíz cuadrada de cada cuadrado perfecto en el polinomio y reemplazar esos valores en la fórmula. El método de la diferencia entre dos cuadrados constituye una herramienta básica en el álgebra que es probable que utilices con frecuencia al resolver ecuaciones.

Parte 1

Parte 1 de 3:

Evaluar el polinomio

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Identifica el coeficiente, la variable y el grado de cada término. El coeficiente constituye el número que se encuentra antes de una variable que se multiplica por la variable.^{[1]
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Fuente de investigación} La variable es el valor desconocido que suele estar denotado por la $x$ $x$ o $y$ $y$ .^{[2]
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Fuente de investigación} El grado hace referencia al exponente de la variable. Por ejemplo, un término de segundo grado tiene un valor a la segunda potencia ( $x^{2}$ $x^{{2}}$ ), en tanto que un término de cuarto grado tiene un valor a la cuarta potencia ( $x^{4}$ $x^{{4}}$ ).^{[3]
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Fuente de investigación}
- Por ejemplo, en el polinomio $36x^{4}-100x^{2}$ , los coeficientes son $36$ y $100$ , la variable es $x$ , el primer término ( $36x^{4}$ ) es un término de cuarto grado y el segundo término ( $100x^{2}$ ) es un término de segundo grado.
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Busca el máximo común divisor. El máximo común divisor constituye el factor más alto que divide equitativamente dos o más términos.^{[4]
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Fuente de investigación} En caso de que un divisor sea común a ambos términos del polinomio, factorízalo.^{[5]
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Fuente de investigación}
- Por ejemplo, los dos términos del polinomio $36x^{4}-100x^{2}$ tienen un máximo común divisor de $4x^{2}$ . Al factorizarlo, el problema se convierte en $4x^{2}(9x^{2}-25)$ .
3
Determina si los términos son cuadrados perfectos. En caso de que hayas factorizado un máximo común divisor, únicamente considerarás los términos que queden entre paréntesis. Un cuadrado perfecto constituye el resultado de la multiplicación de un número entero por sí mismo.^{[6]
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Fuente de investigación} Una variable será un cuadrado perfecto en caso de que su exponente sea un número par. Únicamente es posible factorizar usando la diferencia entre cuadrados si es que cada término del polinomio es un cuadrado perfecto.
- Por ejemplo, $9x^{2}$ es un cuadrado perfecto, ya que $(3x)(3x)=9x^{2}$ . El número $25$ también es un cuadrado perfecto, ya que $(5)(5)=25$ . Por esta razón, es posible factorizar $9x^{2}-25$ mediante la fórmula de la diferencia entre cuadrados.
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Ten cuidado de que vayas a encontrar la diferencia. Sabrás que buscas la diferencia si es que hay un polinomio que resta un término a otro. La diferencia entre cuadrados aplica únicamente para estos polinomios y no para aquellos en los que haya una suma.
- Por ejemplo, no es posible factorizar $9x^{2}+25$ con la fórmula de la diferencia entre cuadrados debido a que en este polinomio se busca una suma en lugar de una diferencia.
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Parte 2

Parte 2 de 3:

Usar la fórmula

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Dispón la fórmula para la diferencia entre cuadrados. La fórmula es $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ . Los términos $a^{2}$ y $b^{2}$ son los cuadrados perfectos en el polinomio, y $a$ y $b$ son las raíces de los cuadrados perfectos.^{[7]
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Fuente de investigación}
2
Reemplaza el primer término en la fórmula. Este es el valor de $a$ $a$ . Para encontrar este valor, obtén la raíz cuadrada del primer cuadrado perfecto del polinomio. No olvides que la raíz cuadrada de un número constituye un factor que se multiplica por sí mismo para obtener ese número.
- Por ejemplo, $(3x)(3x)=9x^{2}$ , por lo que la raíz cuadrada de $9x^{2}$ es $3x$ . Por ende, debes reemplazar $a$ por este valor en la fórmula de la diferencia entre cuadrados: $9x^{2}-25=(3x-b)(3x+b)$ .
3
Reemplaza el segundo término en la fórmula. Este es el valor de $b$ $b$ , que es la raíz cuadrada del segundo término en el polinomio.
- Por ejemplo, $(5)(5)=25$ , por lo que la raíz cuadrada de $25$ es $5$ . Entonces, reemplaza $b$ por este valor en la fórmula de la diferencia entre cuadrados: $9x^{2}-25=(3x-5)(3x+5)$ .
4
Revisa tu trabajo. Emplea el método FOIL para multiplicar ambos factores. En caso de que el resultado sea el polinomio original, sabrás que factorizaste correctamente.
- Por ejemplo:
  $(3x-5)(3x+5)$
  $=9x^{2}+15x-15x-25$
  $=9x^{2}-25$ .
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Parte 3

Parte 3 de 3:

Resolver problemas de práctica

1
Factoriza este polinomio. Emplea la fórmula de la diferencia entre cuadrados: $36x^{4}-9$ $36x^{4}-9$ .
- Debido a que los términos no tienen un máximo común divisor, no es necesario factorizar nada del polinomio.
- El término $36x^{4}$ es un cuadrado perfecto, ya que $(6x^{2})(6x^{2})=36x^{4}$ .
- El término $9$ es un cuadrado perfecto, ya que $(3)(3)=9$ .
- La fórmula de la diferencia entre cuadrados es $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ , por lo que $36x^{4}-9=(a-b)(a+b)$ , en donde $a$ y $b$ son las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos.
- La raíz cuadrada de $36x^{4}$ es $6x^{2}$ . Si reemplazas $a$ por este valor, obtienes $36x^{4}-9=(6x^{2}-b)(6x^{2}+b)$ .
- La raíz cuadrada de $9$ es $3$ . Si reemplazas $b$ por este valor, obtienes $36x^{4}-9=(6x^{2}-3)(6x^{2}+3)$ .
2
Prueba con la factorización de este polinomio. Ten cuidado de factorizar un máximo común divisor y de utilizar la diferencia entre dos cuadrados: $48x^{3}-27x$ $48x^{3}-27x$ .
- Encuentra el máximo común divisor de cada término. Este término es $3x$ , por lo que debes factorizarlo del polinomio: $3x(16x^{2}-9)$ .
- El término $16x^{2}$ es un cuadrado perfecto, ya que $(4x)(4x)=16x^{2}$ .
- El término $9$ es un cuadrado perfecto, ya que $(3)(3)=9$ .
- La fórmula de la diferencia entre cuadrados es $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ , por lo que $48x^{3}-27x=3x(a-b)(a+b)$ , en donde $a$ y $b$ son las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos.
- La raíz cuadrada de $16x^{2}$ es $4x$ . Si reemplazas $a$ por este valor, obtienes $48x^{3}-27x=3x(4x-b)(4x+b)$ .
- La raíz cuadrada de $9$ es $3$ . Si reemplazas $b$ por este valor, obtienes $48x^{3}-27x=3x(4x-3)(4x+3)$ .
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Factoriza el siguiente polinomio. Si bien hay dos variables, de todos modos sigue las reglas para el método de la diferencia entre cuadrados: $4x^{2}-81y^{2}$ $4x^{2}-81y^{2}$ .
- Debido a que no hay un divisor común a cada término en este polinomio, no hay nada que factorizar antes de empezar a factorizar la diferencia entre cuadrados.
- El término $4x^{2}$ es un cuadrado perfecto, ya que $(2x)(2x)=4x^{2}$ .
- El término $81y^{2}$ es un cuadrado perfecto, ya que $(9y)(9y)=81y^{2}$ .
- La fórmula de la diferencia entre cuadrados es $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ , por lo que $4x^{2}-81y^{2}=(a-b)(a+b)$ , en donde $a$ y $b$ son las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos.
- La raíz cuadrada de $4x^{2}$ es $2x$ . Si reemplazas $a$ por este valor, obtienes $4x^{2}-81y^{2}=(2x-b)(2x+b)$ .
- La raíz cuadrada de $81y^{2}$ es $9y$ . Si reemplazas $b$ por este valor, obtienes $4x^{2}-81y^{2}=(2x-9y)(2x+9y)$ .
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