Funciones trigonométricas

Funciones trigonométricas
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Concepto:Son valores sin unidades que dependen de la magnitud de un ángulo.

Funciones trigonométricas. Relaciones no angulares que se utilizan para relacionar los ángulos del triángulo con las longitudes de los lados del mismo.

Historia

El estudio de las funciones trigonométricas se remonta a la época de Babilonia, y gran parte de los fundamentos de trigonometría fueron desarrollados por los matemáticos de la Antigua Grecia, de la India y estudiosos musulmanes.

El primer uso de la función seno (sin(x)) aparece en el Sulba Sutras escrito en India del siglo VIII al VI a. C. Las funciones trigonométricas fueron estudiadas por Hiparco de Nicea (180-125 a. C.), Aryabhata (476-550), Varahamihira, Brahmagupta, al-Khwarizmi, Abu'l-Wafa, Omar Khayyam, Bhaskara II, Nasir al-Din Tusi, Regiomontanus (1464), Ghiyath al-Kashi y Ulugh Beg (Siglo XIV), Madhava (ca. 1400), Rheticus, y el alumno de éste, Valentin Otho. La obra de Leonhard Euler Introductio in analysin infinitorum (1748) fue la que estableció el tratamiento analítico de las funciones trigonométricas en Europa, definiéndolas como series infinitas presentadas en las llamadas "Fórmulas de Euler".

La noción de que debería existir alguna correspondencia estándar entre la longitud de los lados de un triángulo siguió a la idea de que triángulos similares mantienen la misma proporción entre sus lados. Esto es, que para cualquier triángulo semejante, la relación entre la hipotenusa y otro de sus lados es constante. Si la hipotenusa es el doble de larga, así serán los catetos. Justamente estas proporciones son las que expresan las funciones trigonométricas.

Razones trigonométricas

Las razones trigonométricas de un ángulo agudo de cualquier triángulo rectángulo se definen comúnmente como el cociente entre dos de los tres lados. de tal triángulo rectángulo. Ampliando el contexto, las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad) o también fijando un punto en el plano cartesiano distinto al origen usando abscisa, ordenada, radio vector y ángulo orientado se definen seis funciones trigonómetricas, precisando el dominio y codominio en cada caso.. Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos. Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones.

Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:

  • La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo, además es un lado natural de cualquiera de los ángulos agudos.
  • El cateto opuesto (a) es el lado que no conforma el ángulo agudo cuya razón trigonométrica se va a establecer
  • El cateto adyacente (b) es el lado constituyente del ángulo agudo cuya alguna razón trigonométrica se va a determinar.
  • Se ve que hay un conjunto de tres elementos: lado opuesto = p; lado adyacente = d; hipotenusa = h. Para cada r.t. se necesita un par de lados, por lo que podemos escoger 2por 3 = 6 arreglos; de hecho hay seis razones para cada ángulo agudo. Cada una de las razones trigonométricas tiene nombre propio.

Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las razones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:

1) El seno de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa.

El valor de esta cociente no depende del tamaño del triángulo rectángulo que se elija, siempre que tenga el mismo ángulo α , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.

2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

3) La tangente de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

4) La cotangente de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:

5) La secante de un ángulo es el cociente entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:

6) La cosecante de un ángulo es cociente entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:

[1] [2]

Representación gráfica y propiedades de las funciones trigonométricas

La función seno es la función definida por: f(x)= sen x.

Propiedades

  • Dominio: XЄR
  • Recorrido: [-1, 1]
  • El período de la función seno es 2π
  • La función y=sen x es impar, ya que sen(-x)=-sen x, para todo xЄR.
  • La gráfica de y=sen x intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son:x=(0+πK) para todo número entero k.
  • El valor máximo de senx es 1, y el mínimo valor es -1. La amplitud de la función y=senx es 1
  • Creciente ...U(-π/2,π/2) U( 3π/2,5π/2) U...
  • Decreciente ...U(π/2,3π/2) U (5π/2,7π/2) U...
  • Máximo (π/2+2πk,1) KЄZ
  • Mínimo (3π/2+2πk,-1 KЄZ

La función coseno es la función definida por: f(x)= cos x

Propiedades

  • Dominio: XЄR
  • Recorrido: [-1, 1]
  • Es una función periódica, y su período es 2π
  • La función y=cosx es par, ya que cos(-x)=cos x, para todo XЄR
  • La gráfica de y=cosx intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son x=(π/2+k)
  • El valor máximo de cos x es 1, y el valor mínimo valor es -1. La amplitud de la función y=cosx es 1
  • Creciente ...U(-π,0) U (π,2π) U...
  • Decreciente ...U(0,π) U (2π,3π) U...
  • Máximo (2πk,1) KЄZ
  • Mínimo {π(2k+1),-1} KЄZ

La función tangente es la función definida por: f(x)= tan x

Propiedades

  • Dominio:XЄR;{(2k+1)π/2,KЄZ
  • Recorrido (R)
  • La función tangente es una función periódica, y su período es π
  • La función y=tan x es una función impar, ya que tan(-x)=-tan x
  • La gráfica de y=tan x intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x=kπ , para todo número entero k
  • Creciente (R)
  • Máximos: no tiene
  • Mínimos: no tiene

La función cotangente es la función definida por: f(x)= cotg x.

Propiedades:

  • Dominio XЄR;{kπ,KЄZ}
  • Recorrido (R)
  • Continuidad: Continua en XЄR-{πk,KЄZ}
  • Período:π
  • Decreciente en:R
  • Máximos: No tiene
  • Mínimos: No tiene
  • Impar: cotg(−x) = −cotg x
  • Cortes con el eje X={π/2+k}

La función secante es la función definida por: f(x)= sec x

Propiedades

  • Dominio: R-{(2k+1)π/2,KЄZ}
  • Recorrido: (− ∞, −1] Unión [1, ∞)
  • Período:2K
  • Continuidad: Continua en XЄR -{(π/2+Kπ)}
  • Creciente en: ...U(0,π/2) U (π/2,π) U...
  • Decreciente en: ...U(π,3π/2) U (3π/2,2π) U...
  • Máximos: (2πk,-1) KЄZ
  • Mínimos: {π(k+1,-1)}KЄZ
  • Par: sec(−x) = sec x
  • Cortes con el eje OX: No corta

La función cosecante es la función definida por: f(x)= cosec x

Propiedades:

  • Dominio: R-{Kπ,KЄZ}
  • Recorrido: (− ∞, −1] Unión [1, ∞)
  • Período: 2π
  • Continuidad: Continua en XЄR -{πk,KЄZ}
  • Creciente en: ...U(π/2,π) U (π,3π/2) U...
  • Decreciente en: ...U(0,π/2) U (3π/2,2π) U...
  • Máximos: (3π/2+2πk,-1) KЄZ
  • Mínimos: (π/2+2k,-1) KЄZ
  • Impar: cosec(−x) = −cosec x
  • Cortes con el eje OX: No corta

Fuentes

2010.


Aclaraciones y consultas

  1. ↑ El referido cociente es un número real irracional casi en todos los casos, en algunos casos son números algebraicos.
  2. ↑ A.G. Tsipkin. Manual de matemáticas para la enseñanza media. Editorial MIR, Moscú, 1985, pág. 86
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