Grupo cíclico

Grupo cíclico
Concepto:Un grupo es cíclico cuando existe un elemento que lo genera. Por ejemplo, el grupo cíclico de orden 3, Z3, está generado por a.

Un grupo es cíclico cuando existe uno de sus elementos que genera a todos los otros. Sea el grupo (A,•) donde A es un conjunto no vacío y • es la operación binaria para la que (A,•) tiene estructura de grupo (notación multiplicativa). Entonces, el grupo es cíclico si existe un elemento a de A (llamado generador) tal que A = { an=a•••a | n natural } [1].

Ejemplos [2]

  • El grupo de los números enteros con la suma de números enteros (Z,+) es un grupo cíclico cuyo generador es el elemento 1. Por ejemplo, 2 = 1+1, 3 =1+1+1, 4=1+1+1+1, etc. Suele escribirse Z = <1>.
  • El grupo cíclico de orden 2, (Z2, +) es el conjunto Z2 = { 0, 1 } , donde la operación + se define como 0+0 =0, 0+1=1, 1+1=0, 1+0=1. El elemento 1 es el generador del grupo y es de orden 2 y el elemento 0 es el neutro del grupo. Este grupo es abeliano. En notación multiplicativa, Z2 = <a | a2 = 1 > .
  • El grupo cíclico de orden 3, (Z3, +) es el conjunto Z3 = { 0, 1, -1 } , donde la operación + se define como 0+0 =0, 0+1=1, 0-1 =-1, 1+0=1, 1+1=-1, 1-1=0, -1+0=-1, -1+1=0, -1-1=1 . El elemento 1 es el generador del grupo y es de orden 3 y el elemento 0 es el neutro del grupo. Este grupo es abeliano. En notación multiplicativa, Z3 = <a | a3 = 1 > .

Véase también

Referencias

  1. ↑ Oleg Vladimirovič Bogopolʹskij; Introduction to Group Theory, Volume 6 of EMS textbooks in mathematics, European Mathematical Society, (2008)
  2. ↑ Grupos cíclicos de orden 2 y 3, matesfacil.com
  3. ↑ Dipak Chatterjee; Abstract Algebra, PHI Learning Pvt. Ltd., (2005)
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