Ley de Moivre

Ley de Moivre
Concepto:Regla para determinar la potencia n-ésima de un número complejo unitario expresado en su forma trigonométrica.

Ley de Moivre. En Matemáticas y más especifícamente Álgebra y Análisis Matemático expresión que expresa la potencia (inicialmente de exponentes naturales y luego reales) de números complejos normales en su representación polar, debida a Abraham de Moivre(1667 - 1754) en 1697.

Su importancia consiste en abundar en la relación entre la trigonometría y la potenciación compleja y que el resultado al poder extenderse a las potencias reales y complejas, permite la definición calculable de cualquier potencia de base y exponentes complejos.

Definición

Sea un número complejo unitario cis x puramente imaginario, donde x es un real cualquiera que representa un ángulo en radianes y n un natural cualquiera; a la expresión:

  • (cis x)n = cis (nx) = cos (nx) +i sen (nx)

se le conoce como Ley o Fórmula de De Moivre.

Obtención

Partiendo de la conocida Ley de Euler:

  • eix= cis x

Si se elevan ambos miembros a un real n cualquiera (esto evidentemente incluye a los naturales) se obtiene:

(exi)n = (cis x)n

y desarrollando el miembro izquierdo de la igualdad queda:

enxi = cis (nx) = cos (nx) +i sen (nx)

Para finalmente encontrar la fórmula de De Moivre:

(cis x)n = cis (nx) = cos (nx) +i sen (nx)

Importancia

Por una parte, la fórmula de De Moivre permite asociar la trigonometría de ángulos múltiplos con la potencia de complejos y extender esta misma idea a potencias de números reales y complejos que junto a la idea de que cada número complejo expresado en notación polar es múltiple debido a las rotaciones completas (3600) de cada argumento, esta multiplicidad se irradia a las operaciones de potencia, exponencial y logaritmo complejos.

Cálculo de raíces n-ésimas de un número complejo

Esta ley nos permite esclarecer el hecho de que cualquier número complejo z=a cis b tiene n raíces n-ésimas , pero también nos expresa su significado geométrico: cada raíz es un vértice de un n-gono regular inscrito en una circunferencia con centro en el origen y radio , localizados en los ángulos .

Por ejemplo al calcular la raíz sexta de 64 cis 30o, primero debe reescribirse el número para que se incluyan en el argumento los ángulos coincidentes con 30o. Ahora la expresión queda:

  • (64 cis (30o+360ok))1/6; donde k es cualquier número entero.
  • = 641/6 cis (30o/6 +360ok/6)
  • = 2 cis (5o +60ok)

y dando a k los valores 0, 1, 2..., 5, se obtienen las raíces sextas:

  • 2 cis 5o, 2 cis 65o, 2 cis 125o, 2 cis 185o, 2 cis 245o, 2 cis 305o.

cuyas representaciones geométricas serían:

Veáse también

Fuentes

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