Polígono regular

Definiciones

Se dice que un polígono es regular si y solo si sus lados y ángulos internos son iguales entre sí.

Descripción de los elementos de un polígono regular
l: Longitud de las aristas del polígono. r: Radio de la circunferencia circunscrita. n. Cantidad de lados del polígono. : Ángulo interior del polígono h: Radio de la circunferencia inscrita o apotema. : Ángulo central talque

Ejemplos

A continuación se muestra una tabla con algunos polígonos regulares y algunos de sus valores generales.

Propiedades

• Todo polígono regular es equilátero y equiángulo.
• No son polígonos regulares ni el rombo ni el rectángulo no cuadrados, aun siendo el primero equilátero y el segundo, equiángulo.
• Si dividimos una circunferencia en n partes iguales, donde n no menor que 3, y unimos consecutivamente los puntos de división mediante segmentos se obtiene un n-ágono regular inscrito.
• Si dividimos una circunferencia en n partes iguales, donde n no menor que 3, y trazamos consecutivamente por los puntos de división rectas tangentes (cada una corta a dos de ellas) que se intersecan, se obtiene un n-ágono regular circunscrito. ^[1]

Cálculo

Los polígonos regulares tienen una serie de propiedades que hacen que se facilite enormente el cálculo de sus elementos conformantes además del perímetro y área.

Las variables que aparecen han sido referidas desde el epígrafe de definiciones

Área

Para determinar el área de un n-ágono regular, lo más práctico es subdividirlo en triángulos, trazando los radios r de la circunferencia circunscrita hacia cada uno de los vértices, que resulta en n triángulos isósceles iguales (los radios son iguales y por definición, las aristas son congruentes) entre sí, de manera que si se conoce el área A_T de uno de esos triángulos puede calcularse la superficie general mediante:

• A_n=nA_T

Mientras tanto, A_T puede determinarse mediante la fórmula general del área de triángulos:

• 

Resumiendo:

• 

En otra situación si se tuviese el radio de la circunferencia circunscrita r, la expresión total de superficie queda:

• 

O esta otra que depende de la apotema y el ángulo central:

• 

Áreas de las circunferencias circunscrita e inscrita

Si se conoce la longitud l del n-ágono regular pueden calcularse los valores de las superficies correspondientes a las circunferencias circunscrita e inscrita.

Tipo	Área	Perímetro
Circunferencia inscrita
Circunferencia circunscrita

Representación gráfica

La representación gráfica de n-ágonos regulares ha sido de interés particular de la geometría, arquitectura, diseño, dibujo técnico, artes plásticas, religión, generación de gráficos por computadora tanto 2D como tridimensionales y otras muchas, por tanto a lo largo del tiempo se han desarrollado métodos de toda clase para su obtención.

De gran interés desde las grandes culturas de la Antigüedad fue la obtención de los mismos con instrumentos sencillos como regla y compás, consiguiéndose con cierta celeridad la construcción de los polígonos regulares de 3, 4, 5, 6, 8 y 15 lados con el alto desarrollo geométrico alcanzado en la Grecia de Euclides, aunque formas similares se hayan en textos clásicos de la Antigua India, China y Egipto, además de las tabletas cuneiformes de Mesopotamia.

Sin embargo había figuras que se resistían a la construcción con regla y compás como el heptágono que más de 2 mil años después se probraría la incapacidad de obtenerlo solo con regla y compás.

A los polígonos regulares que pueden obtenerse con estos instrumentos se les conoce como polígonos construibles. La idea central es lograr dividir un círculo en n secciones iguales, fenómeno llamado ciclotomía del griego cyclos (círculo) y tomo (dividir, divisible).

En 1796 Gauss demuestra que es posible también construir con regla y compás el heptadecágono (n-ágono regular de 17 lados) y cinco años después había establecido una condición suficiente para que un polígono regular fuese construible estableciendo una asociación entre la cantidad de lados y los llamados actualmente números primos de Fermat.

Evidentemente, la geometría analítica presentaba soluciones algebraicas más simples. La idea es la misma que una ciclotomía de n partes iguales que si se asume que el círculo de radio r tiene su origen en el centro de coordenadas (0;0) los vértices del n-ágono regular se ubican en los puntos:

• para i=0..n.

Si se quiere una versión más general que incluya rotar en un ángulo .

• para i=0..n.

El traslado a otra coordenada (x,y) del centro solo requiere la adición es dichos valores a todas las coordenadas de los vértices:

• para i=0..n.

Importancia

El conocimiento y propiedades de estas figuras geométricas trasciende el terreno de las matemáticas donde de por sí han constituido una fascinación tanto abstracta como estética por la simpleza y regularidad armónica de sus formas, para alcanzar a otras áreas del conocimiento y prácticas de la Humanidad.

Es fácil notar que un polígono regular entre más lados tiene más se asemeja a un círculo, y que su infinitación de hecho constituye al círculo. Este resultado ayudó en la antigüedad a la obtención de aproximaciones del número pi mediante el método exhaustivo donde se iba tomando la medida de las longitudes de n-ágonos regulares unitarios cuyos.

Sirven también para el cálculo de superficie y volumen de figuras más complejas inscribiendo n-ágonos regulares de fórmulas conocidas en ellos. Una de los métodos de expresión visual de grafos tiene por base la ciclotomía de los polígonos regulares.

En la naturaleza existen materiales, partículas, moléculas, ondas que tienen el aspecto de estas figuras o puede modelarse su comportamiento mediante las fórmulas que rigen a los n-ágonos. Ejemplo de esto son las formas hexagonales de los cristales de hielo en los copos de nieve o las moléculas de grafito y benzeno.

El dibujo, las artes plásticas y el diseño hacen uso de estas con diversos propósitos estéticos, expresivos o conceptuales pues algunas de estas figuras forman parte de la cultura general o de naciones, grupos étnicos o religiones asociando simbólicamente sus formas a ideas, conceptos, fenómenos, abstracciones, movimientos, tendencias, modas, etc.

La generación de imágenes por computadora (GIC, CGI en inglés), videojuegos, edición AVID y los gráficos 3D casi siempre tienen a lo más elemental polígonos o poliedros cuyas propiedades tan cómodas favorecen la velocidad de cálculo para una obtención poco costosa en términos de poder de cálculo de cada cuadro, de modo que se cumpla en tiempo real la siempre deseable propiedad lo que ve es lo que obtendrá (WYSIWYG, por su equivalente en inglés).