Matriz inversa

Matriz inversa
Concepto:Matriz cuadrada A-1 de orden N tal que A-1A=AA-1=IN.

Matriz inversa. Dícese de la Matriz cuadrada A-1 de orden N que dada, A una matriz cuadrada no singular del mismo orden, satisface AA-1=A-1A=IN.

Definiciones.

Dada la matriz cuadrada A de orden N se dice que es una matriz inversible si y sólo si el determinante de A no es nulo.

Si A es una matriz inversible, se dice que la matriz cuadrada A-1 de orden N es la matriz inversa de A tal que AA-1=A-1A=IN.

Propiedades.

Relativas a la inversibilidad:

  • Una matriz cuadrada A es inversible si existe otra matriz cuadrada B tal que AB=BA=I.
  • Una matriz es inversible ssi:
    • Es cuadrada.
    • Es no singular.
  • Si una matriz A de orden n es inversible, entonces su rango también es n.
  • La matriz inversa si existe es única.
  • (AB)-1=A-1B-1
  • (AT)-1=(A-1)T
  • (A-1)-1=A
  • I-1=I

Métodos de obtención de matrices inversas

Mediante el determinante y la matriz adjunta:

Para los casos específicos de matrices inversibles de orden 2 y 3 puede calcularse sus inversas de la formas:

  • Orden 2:
    • ,
    • Cuyo determinate es |A|=ad-bc,
    • ,
    • ,
  • Orden 3:
    • ,
    • Su determinante
    • Se calculan los complementos algebraicos de cada celda, obteniéndose la transpuesta de la matriz adjunta ,
    • Se transpone: ,

Método de Eliminación de Gauss-Jordan:

  • A partir de se crea la matriz extendida (A|I) y mediante transformaciones elementales en cada fila, si A es inversible, se obtiene (I|A-1).

Solución de sistemas de ecuaciones líneales mediante la inversa

Sea la matriz A no singular y el sistema de ecuaciones lineales representado en la ecuación matricial:

  • AX=B

Se puede multiplicar delante de ambos lados de la ecuación por A-1:

  • A-1AX=A-1B => I.X=A-1B

de donde:

  • X=A-1B

que muestra otra manera de determinar la solución de un sistema de ecuaciones lineales compatible.

Ejemplos.

La matriz:

123
456
789

no tiene inversa porque su determinante es 0, es decir es una matriz singular.

En cambio la matriz A:

123
345
568

cumple |A|=-2, es no singular y por ende es inversible. A-1 es:

-1-11
-0,53,5-2
1-21

La cual puede obtenerse mediante la matriz adjunta y su determinante:

O mediante el método de Jordan:

  • Se escribe la matriz ampliada (A|I): .
  • Pivote A1,1.
    • .
    • Sustituir Fila2 por Fila2 - 3 Fila1.
    • Sustituir Fila3 por Fila3 - 5 Fila1.
  • Pivote A2,2.
    • .
    • Sustituir Fila1 por Fila1 + Fila2.
    • Sustituir Fila3 por Fila3 - 2 Fila2.
  • Pivote A3,3.
    • .
    • Sustituir Fila1 por Fila1 + Fila3.
    • Sustituir Fila2 por Fila2 + 4 Fila3.
  • Se divide la fila 2 por -2 y se obtiene finalmente (I|A-1):
    • .

Resolución de sistema de ecuaciones lineales

Sea el sistema de ecuaciones lineales representado por la ecuación matricial AX=B:

Pero la matriz que representa a los coeficientes del SEL tiene por inversa:

Y en este caso el sistema puede replantearse como X=A-1B, resolviéndose mediante el producto matricial:

Véase también

Fuentes

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