Polinomio característico

Polinomio característico

Concepto:	Polinomio de grado N derivado de

Polinomio característico. Dícese del polinomio de grado N resultante de la ecuación |A-xI_N| donde A es la matriz cuadrada asociada a la aplicación lineal T del mismo orden.

Las raíces reales de dicho polinomio mismo serán valores propios de T.

De ahí que los polinomios característico sean medulares para la obtención de los valores, subespacios y vectores propios de una aplicación lineal. También con ellos se verifica la existencia de dichos valores lineales y de la diagonalizabilidad de la matriz.

Definición

Sea T una aplicación o transformación lineal endomórfica de orden N sobre K^N se llama polinomio característico al resultante de la expresión:

P(x)=|A-xI_N|

donde A es la matriz cuadrada asociada a T, I_N es la matriz identidad de orden N.

Mientras se conoce como ecuación característica a la expresión del álgebra matricial (A-xI_N)=0.

Propiedades

Sea un polinomio característico P(x) de la aplicación lineal T sobre K^N, para el mismo se verifican las siguientes propiedades:

Los valores propios de T son raíces de P(x)=0.
Si todas las N raíces de P(x) pertecen a K entonces son valores propios de T y ésta es diagonalizable.
Dos matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico.

Ejemplos

Sea la matriz A sobre el conjunto de los reales:

asociada a la aplicación lineal T:R³->R³; obtener los valores propios de A.

1ro. Se plantea |A-kI|=0 para obtener el polinomio característico:

que es reducido a:

-k³+6k²+2k-12=0 (Polinomio característico de A)

2do. Se determinan las raíces del polinomio:

-k³+2k+6k²-12=0
=-k(k²-2)+6(k²-2)
(6-k)(k²-2)=0

siendo 6 y que son valores propios de A por ser todos reales.

En el caso de la matriz M₂(R):

Para determinar si tiene valores propios primero se busca el polinomio característico mediante:

Quedando:

P(x)=x²+1=0

Que como es sabido no tiene solución real.

En cambio, si M se definiera sobre números complejos; las soluciones i y -i serán valores propios de M₂(R).

Importancia

Los valores y vectores propios son clave para la diagonalización de matrices cuadradas, proceso que se hace mediante la resolución del polinomio característico de la matriz cuadrada asociada a la transformación lineal en cuestión, usando por lo general el teorema de Cayley-Hamilton. Para matrices superiores al orden 3, se obtendrán polinomios que no tendrán un método general de factorización.

En todo, caso el polinomio característico permite vincular la búsqueda de valores propios de una aplicación lineal con la resolución de un polinomio de una variable de grado igual al orden de la aplicación, con los inconvenientes y ventajas de esta parte del álgebra.

Véase también

Fuentes

Colectivo de Autores. Álgebra lineal. Editorial Félix Valera. La Habana, 2003.
K. Ribnikov. Análisis Combinatorio. Editorial Mir, Moscú. 1988.
Proskuriakov, I. Problemas de Álgebra Lineal. Editorial Mir, Moscú. 1986.
Polinomio característico en Wikipedia. Consultado el 15 de febrero de 2018.

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